零做除数的发现

——写在刘广云《反映自然界层次间消亡、生成的新数系M》一书出版之际

刘克苏

2002-10-31

数学运算中，加减乘除基本上都能进行到底，大概唯有除法是个例外，因为零一直不能做除数。数学史上，当人们把一种运算进行到底时，往往能导致一种新数的出现，比如把减法进行到底导致了负数，把开方进行到底导致了虚数。那么，把除法进行到底——让零做除数，会导致什么新数的出现呢？我们知道，a/0, x/0, 0/0等等的运算结果一直处于不确定之中，对于各种运算结果，往往既不能肯定也不能否定。而假如把0×∞看作0/0之类的逆运算，则不但除法，连乘法也不能进行到底了，因为假如我们认定a×0=0是个恒等式，而a∈R(R为实数)，则零在这里使所有数字的差异全部消失了：任何数乘以零都永远等于零。看来，零的奥秘亟待人们去发现。

在这个科技日益被看重的时代，发明发现的规律和奥秘却一直不露声色。除了将它们归之于"勤奋加灵感"之外，我们实在难有多少靠得住的"科学"证明。这就给各种"非科学"说法大开了方便之门。一个人可以这样安慰自己：我之所以没有在科学上做出贡献，乃是因为我没有霍金那样的遭遇，霍金正因为运动神经细胞病导致的严重残疾才得以全神贯注于科学问题，而把尘世的一切抛在一边，写出了《时间简史》这样伟大的科学著作。而一旦有人提出爱因斯坦、牛顿、杨振宁等健康的科学巨匠的反例，则我们又可以这样安慰自己：我们之所以没有像他们那样做出科学贡献，乃是因为我们不像爱因斯坦那样从小不善言辞，不像杨振宁那样在年轻时代遇到那么多恩师，不像牛顿那样......。总之，要说明自己不行，总是有一千条理由成立，对我们而言，科学创新的秘密是高度不确定的。

"怎么说都行、怎么说都不行"的这种状态，连我们自己也并不真正满意。正如数学家遇到a/0=?这样的公式找不到确切结论时一样。美国数学家苏佩斯承认：面对2/0=1/0这样的公式，数学家甚至难以判定其真假；而对于x/0=0，许多数学家都感到不舒服。他们既不能证明x/0是一个实数，也不能证明x/0不是一个实数。

印度著名数学家拉玛努扬也不是因为出身"贫困"，才从小善于思考"零"的问题的。9岁那年，老师在数学课上讲道："有5个果子，平均分给5个人吃，每人分得1个；有3个果子，平均分给3个人吃，每人也分得1个。由此可知，任何一个数除以它本身，都得1。"拉玛努扬听了，立即站起来说："不对！如果没有果子，也没有人分，得几个？"问得老师一时不知怎么回答好。当然，老师大概不会认为：拉玛努扬由这道除法题想到了0除以0的问题，乃是因为他出身贫困。

不过，要解决零做除数的问题，却是众多数学家多年的愿望，这与他们出身贫困与否无关。尽管数学里头有个似乎"公认"的规定：零不能做除数——但是，总是不断地有人试图演算零做除数譬如a/0=?之类的公式，以及其逆运算0×∞=?

特别是当0×∞=?之类的公式出现在量子力学里的时候，抽象的数学就具备了紧迫的、实实在在的物理意义。还是那位霍金说："因为数学不能处理无穷大的数，这表明广义相对论（弗里德曼解以此为基础）预言，在宇宙中存在一点，在该处理论自身失效。"[1]

霍金认为："麻烦在于不确定性原理意味着甚至‘空的'空间也是充满了虚的粒子和反粒子，这些粒子对具有无限的能量，并且由爱因斯坦的著名方程E＝mc²可知，这些粒子具有无限的质量。这样，它们的引力的吸引就会将宇宙卷曲到无限小的尺度。"[2]

物理学家于是找到了重正化方法来解决这一难题，不过结果却并不令人放心："相当类似地，在其他部分理论中也发生颇似荒谬的无限大，然而，所有这些情形下的无限大都可用称之为重正化的过程消除掉。这牵涉到引入其他的无限大去消除这些无限大。虽然在数学上这个技巧相当令人怀疑，而在实际上似乎确实行得通，并用来和这些理论一起作出预言，这预言极其精确地和观察相一致。然而，从企图找到一个完全理论的观点看，由于重正化意味着质量和力的强度的实际值不能从理论中得到预言，必须被选择以去适合观测，因此重正化有一严重的缺陷。"[3]

欧拉对于a/0的困难有比较明确的认识，关键在于a/0的结果不唯一。而一旦对零加以区分，这个问题就解决了。反过来也是一样，从对∞加以区分下手也行。广云数学从零的区分开始，以无限严密的方式处理了这个问题。所谓无限严密，乃是因为一旦将零一一区分为无数个特定零，则数学的演算就不能不得出无限严密的结果。在刘广云教授的新著《反映自然界层次间消亡、生成的新数系M》（简称《M》,黑龙江教育出版社，2002年版）里，我们甚至可以找到零的无穷层次，以及∞的无穷层次。从此以后，我们可以轻而易举地跟无数个零打交道，在此之前，我们只知道唯一的一个零：0。

唯一的一个零跟通常的世界格格不入，按照皮亚杰等人的说法，1-1=0、2-2=0之类的公式，并不证明"没有土豆等于没有菠菜"。因为"对我们说来，断言n-n≠0，似乎就比断言一种弱结构的值的类A-A≠0更加矛盾。无论如何，虽则在算术上可以证明一切零类都是同一的，但没有土豆并不等于没有菠菜"[4]。伟大的辩证哲学家黑格尔则早有名言："无是经常要与某物对立的；但某物已经是一个规定了的有之物，与别的某物有区别，所以，与某物对立的无，即某一个东西的无，也就是一个规定了的无"[5]。这就是特定零得以成立的哲学根据。于是一般地，对于皮亚杰n-n≠0的大胆断言，我们就有了精确的一般表达式：n-n=0_n;当n=1(或2，3，...，n),则有1-1=0₁, 2-2=0₂, n-n=0_n，...。再用特定零做除数，则有n/0₁=∞n,从而有1/0₁=∞₁，2/0₁=∞₂，...,n/0₁=∞_n。当然，这里的介绍只是为了简单起见，在广云数学《反映自然界层次间消亡、生成的新数系M》里，有非常精彩的符号和运算系统。

我深信，广云数学所开创的数学时代，乃是21世纪科学技术所迫切需要的。这里的确有无限发展的可能性。正如刘广云所说，由于建立了广义标准实数系M，零的无穷层次和∞的无穷层次就可以反映自然界无穷层次的生成和灭亡了。在《M》中，这是通过三个突破来实现的。首先，将实数系R去掉零，变成R_-0,以微观世界的多层次性结构为基础，将哲学中"特定无"数学化，突破现有零概念，将R_-0扩充到微观层次。其次，突破数学中零不能做除数的禁区，让特定零做除数，以宇观世界多层次性结构为物理原型，建立起量化无穷大数——标准无穷大。第三，进一步将特定零、标准无穷大、非零实数融为一个统一体，从而建立起广义标准实数系M，实现了数学史上重大的突破——即首次在世界上给出了自然界层次间生成、消亡特性的数学描述，而且对于特定零、标准无穷大、非零实数也是世界上首次给出统一的数学表达式、统一的四则运算法则、统一的序关系，乃至统一的消亡、生成定理，统一的构成与可分性定理。这一体系是如此自然，如此地跟自然科学技术的发展相适应，如此地跟传统数学精髓融为一体而又实现了神奇的突破，的确给人以不可思议的感慨。

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刘广云教授通讯方式：

天津 南开大学陈省身数学研究所 022－23506090；15900360186 

广东省 梅州嘉应学院数学系，邮编514015，电话0753－2186933