1.6 计算机中数的表示与编码
1.6.1 二进制数
在数学和日常生活中，我们最熟悉的是逢10进位的十进制数。它有两个基本特征：
（1）数位从右至左，每位代表的数值是按10的指数增加的，如个、十、百、千…等，这个数值，我们常称为位权值。
例如：2184这个数可以用多项式表示为：
2 1 8 4＝2×103＋1×102＋8×101＋4×100
千 百 十 个 千 百 十 个
位 位 位 位 位 位 位 位
可见，十进制数的位权值是以10为底的幂，因此任何一个十进制数都可以用一个多项式表示：
（N）10＝an·10n＋an-1·10n-1＋…＋a1·101＋a0·100＋'a-1·10-1＋…＋a-m·10-m
———————整数部分—————— ———小数部分————
（2）每一位数上要有10个不同的符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。在多项式中的an、an-1…，可以是这10个中的任意一个。
我们用10个不同形状的字符表示10个数，但是在计算机的硬件中，还不可能找到10种不同状态的物理量来表示10个数。因此，数制必须修改。我们知道，计算机是基于电子器件的特性来工作的，这些电子线路处理的是数字信号，它们表现为电位的高与低，电路的接通与断开等两种状态，我们用“0”、“1”来描述。这样就可以用0、1两个状态表示数，以2为底的幂作位权值，建立逢2进位的进进制数。例如：
（1101）2＝1·23＋1·22＋0·21＋1·20
表1-1列出从0～15的二进制数的表示。
表1-1 各种数制对应表
|
数 |
十进制 |
二进制 |
八进制 |
十六进制 |
数 |
十进制 |
二进制 |
八进制 |
十六进制 |
|
零 |
0 |
0 |
0 |
0 |
八 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
一 |
1 |
1 |
1 |
1 |
九 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
二 |
2 |
10 |
2 |
2 |
十 |
10 |
1010 |
12 |
A |
|
三 |
3 |
11 |
3 |
3 |
十一 |
11 |
1011 |
13 |
B |
|
四 |
4 |
100 |
4 |
4 |
十二 |
12 |
1100 |
14 |
C |
|
五 |
5 |
101 |
5 |
5 |
十三 |
13 |
1101 |
15 |
D |
|
六 |
6 |
110 |
6 |
6 |
十四 |
14 |
1110 |
16 |
E |
|
七 |
7 |
111 |
7 |
7 |
十五 |
15 |
1111 |
17 |
F |
任何一个二进制数都可以用以下多项式表示
（N）2＝an·2n＋an-1·2n-1＋…＋a1·21＋a0·20＋'a-1·2-1＋…＋a-m·2-m
———————整数部分———— ——小数部分——
式中，an、an-1、…是0或1。
1.6.2 二进制和十进制间的转换
1．二进制数转换为十进制数
按位权值展开，求多项式之和，就得到十进制数。
为了区别不同的数制，我们把数值用圆括弧括起来，在右下角用小号字体的2、10等来注明，如（110101）2，表示是二制制数，（216）10表示是十进制数。
（1）整数的转换
例如：
（110101）2= 1×25＋1×24＋0×2＋1×22＋0×11＋1×20
= 32＋16＋0＋4＋0＋1
=（53）10
（2）小数的转换
例如：
（0.101）2= 1×2-1＋1×2-2＋1×2-3
= 0.5＋0＋0.125
=（0.625）10
（3）既有整数部分又有小数部分的数，转换时，分别按整数和小数转换，再用小数点连起来。例如：
（110101.101）2=（110101）2＋（0.101）2
=（53）10＋（0.625）10
=（53.625）10